1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	8	13	15	10	X	X	X	X	X
2	8	0	5	X	X	X	15	X	X	X
3	13	5	0	6	X	5	X	X	X	X
4	15	X	6	0	4	5	X	X	X	X
5	10	X	X	3	0	9	X	X	3	X
6	X	X	5	5	X	0	4	2	4	X
7	X	2	X	X	X	3	0	4	X	2
8	X	X	X	X	X	2	5	0	2	3
9	X	X	X	X	1	4	X	2	0	X
10	X	X	X	X	X	X	X	3	X	0

Cada área puede tener a lo más dos representantes en el consejo.  
Sociedad de Honor Estudiantes Miembros
S1 E1, E2, E3
S2 E1, E3, E5
S3 E3, E4, E5
S4 E1, E2, E4, E6

Área Académica Estudiantes representados
M E1, E2, E4
H E1, E2
I E4, E5, E6, E3

Represente y resuelve el problema como una red de flujo máximo y luego responda:
¿Cuál es el número máximo de representantes estudiantiles ante el consejo académico?
¿Cuántas sociedades de honor están representadas en el consejo académico?

CADENAS DE MARKOV - El 80% de las cajas nuevas pasan a la semana siguiente a ser clasificadas como buenas y el 20% como aceptables.
- El 70% de las cajas buenas continuarán en ese estado la semana siguiente y el 30% pasarán a ser aceptables.
- La mitad de las cajas clasificadas como aceptables continuarán siéndolo la semana siguiente y el resto se estropearán.

1. Modele el caso como una cadena de Markov, definiendo los estados y clasificándolos y además, las probabilidades de transición. (2p)
2. Calcule el porcentaje de envases de cada tipo, a largo plazo.(1p)
3. Calcule el tiempo de recurrencia de cada estado.(1p)
4. Calcule el valor esperado del coste semanal que produce cada caja a la empresa. (1p)
5. Calcule el número medio de semanas que tarda una caja nueva en estropearse.(1p)
6. El distribuidor estudia reducir costes sustituyendo cajas cuando estas se clasifican en aceptables; de esta forma no espera que se estropeen, ¿ debe cambiar su política de sustitución de cajas?. (2p)

1. Encontrar la matriz de transición de la cadena de Markov que modeliza el caso. (2p)
2. Determinar la proporción de animales de cada una de las clases después de dos generaciones, si la composición inicial es (0.3, 0.5, 0.2). (2p)
3. Hallar la composición límite cuando el número de generaciones tiende al infinito. (2p)

5) Un concurso televisivo ofrece un premio que consiste en un viaje a Cuba para dos personas. En cada programa concursa una pareja que intentará conseguir el premio. El juego tiene tres fases consecutivas, cada una de las cuales dura 3 minutos. En las dos primeras cada concursante deberá responder a una pregunta y en la tercera deberán superar los dos juntos una prueba. En la segunda fase, sólo si los dos aciertan pasan a la siguiente fase, quedando eliminados en los restantes casos.
Por último, en la tercera fase tienen un 80% de posibilidades de superar la prueba y conseguir el premio.
Al quedar una pareja eliminada no puede volver a concursar.
Si la probabilidad de que un concursante acierte una respuesta es 2/3, se pide:

1. Encontrar la matriz de transición de la cadena de Markov que modela el caso. (2p)
2. ¿Qué probabilidad de conseguir el premio tiene una pareja que empieza a concursar?. (2p)
3. ¿Qué probabilidad de ser eliminada tiene una pareja que ha conseguido llegar a la segunda fase? (2p)

   

1. Modele esta situación como una cadena de Markov, definiendo cada uno de los estados de la cadena y clasifíquelos. (4p)
2. Construya el diagrama de transición de estados y la Matriz de transición. (4p)
3. ¿Qué fracción de los lavavajillas deberá ser reemplazados?. (3p)
4. Si el coste de reemplazar un lavavajillas es de S/. 2500. y la tienda vende anualmente 100 lavavajillas ¿En cuánto puede estimarse el coste anual de mantenimiento de la garantía? (4p)
5. La tienda estudia modificar el contrato de garantía de la siguiente forma:
   1. La cobertura del nuevo contrato de garantía sería de dos años.
   2. Los lavavajillas reemplazados recibirían un nuevo contrato de garantía.

 
7) Una urna contiene dos bolas sin pintar. Se selecciona una bola al azar y se lanza una moneda. Si la bola elegida no esta pintada y la moneda produce cada, pintamos la bola de rojo; si la moneda produce cruz, la pintamos de negro. Si la bola ya está pintada, entonces cambiamos el color de la bola de rojo a negro o de negro a rojo, independientemente de si la moneda produce cara o cruz.

1. Modele el problema como una cadena de markov y encuentre la matriz de probabilidades de transición.
2. Después de haber pintado dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que el estado sea [0 2  0] (0 sin pintar, 2 rojas, 0 negras)?
3. Después de haber pintado tres bolas, ¿cuál es la probabilidad que el estado sea [0  1  1] (0 sin pintar, 1 roja, 1 negra)?

 
8) La compañía de seguros Payoff cobra a sus clientes de acuerdo a su historia de accidentes. Un cliente que no haya tenido accidentes durante los últimos dos años paga 100 dólares de prima anual. Quien haya tenido un accidente en cada uno de los dos últimos años paga una prima anual de 400 dólares. A los que hayan tenido un accidente durante sólo uno de los últimos dos años se les cobra una prima anual de 300 dólares. Un cliente que tuvo un accidente durante el último año tiene una probabilidad de 10% de accidentarse durante este año. Si un cliente no ha tenido un accidente durante el último año, tiene una probabilidad de 3% de sufrir un accidente durante este año. Durante un año dado, ¿Cuál es la prima que paga en promedio un cliente de Payoff?
 
9) Un juego de habilidad manual consta de 3 fases (1, 2 y 3) que deben realizarse sucesivamente. Se considera que un jugador ha completado el juego, cuando realiza las 3 fases en forma satisfactoria. Cuando dada la dificultad de las fases el jugador abandona el juego sin haberlo completado, se considera que ha perdido. En particular el 5% abandonan en la fase 1, el 15% en la fase 2 y el 10% en la fase 3. Cuando el resultado de una fase no es satisfactorio, esta debe repetirse, pero en el caso de las fases 2 y 3, si el resultado es muy insatisfactorio, el jugador debe retroceder. En concreto 20% de las personas deben repetir la fase 1; en la fase 2 30% deben repetirla y 5% retroceden a la fase 1; en la fase 3 35% deben repetir y 5% deben retroceder a la 2. ¿Qué porcentaje de jugadores completan el juego?
 
10) Se tiene un sistema de inventario en el que la secuencia de eventos durante cada periodo es como sigue: (1) Se observa el nivel de inventario (llamémosle i) al principio del periodo. (2) Si i £ 1, se piden 4 – i unidades. Si i ³ 2, no se hace ningún pedido. (3) No hay demanda de unidades durante el periodo, con probabilidad 1/3, y  se demanda una unidad durante el periodo, con probabilidad 1/3, y se demandan 2 unidades durante el periodo, con probabilidad 1/3 (4) Se observa el nivel de inventario al principio del periodo. Defina un estado de periodo como el nivel de inventario al principio del periodo. Determine la matriz de transición que pudiera usarse para modelar este sistema de inventario como una cadena de Markov.
 
11) Se usa una máquina para producir herramientas de precisión. Si la máquina esta hoy en buenas condiciones, entonces estará bien mañana con 90% de probabilidad. Si la máquina está en mal estado hoy, entonces estará en mal estado mañana con 80% de probabilidad. Si la máquina está en buen estado, produce 100 herramientas por día, y si está en mal estado, 60 herramientas por días. En promedio, ¿Cuántas herramientas por día se producen?
 
12) Un bosque consta de dos tipos de árboles: los que tienen de 0 a 1.50 m de alto, y los que son más altos. Cada año, muere el 40% de los árboles que tienen menos de 1.50 m, el 10% se venden a 20 dólares cada uno, 30% permanecen entre 0 y 1.50 m, y el 20% crecen más de 1.50. Cada año, el 50% de los árboles de más de 1.50 m se venden a 50 dólares, el 20% se venden a 30 dólares, y el 30% permanecen en el bosque.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que muera un árbol de 0 a 1.50 m antes de venderse?
2. Si se planta un árbol de menos de 1.50 m, ¿Cuál es el ingreso esperado que se va a tener con ese árbol?

 
13) Las cadenas de Markov se usan en ventas para modelar la probabilidad de que un cliente que se localice por teléfono compre finalmente algún producto. Considere un cliente posible a quien nunca le han llamado. Después de una llamada hay una probabilidad de 60% de que tenga poco interés en el producto, de 30% que muestre gran interés en el producto y 10% de que sea borrado de la lista de posibles clientes. Si un cliente actualmente tiene poco interés en el producto después de una llamada hay 30% de probabilidad de que compre el producto, 20% de que sea borrado de la lista, 30% de que aún tenga poco interés, y 20% de que exprese interés alto. Para un cliente que actualmente expresa alto interés, después de una llamada hay 40% de probabilidad de que compre el producto, 40% de probabilidad de que siga teniendo alto interés, el 10% de que tenga poco interés y 10% de que sea borrado de la lista. ¿Cuál es la probabilidad de que un posible cliente compre al final el producto?.
 
14) En Guatemala entre los periódicos de mayor circulación esta Prensa Libre y Siglo Veintiuno. Cuando una persona ha comprado Prensa Libre, hay una probabilidad de 90% que su siguiente compra sea de Prensa Libre. Si una persona compra Siglo Veintiuno, hay 80% de probabilidad que su próxima compra sea Siglo Veintiuno.

1. Si actualmente una persona compra Siglo 21 ¿Cuál es la probabilidad de que compre Prensa Libre pasadas dos compras a partir de hoy?
2. Si Actualmente compra Prensa Libre ¿Cuál es la probabilidad de que compre Prensa Libre  Pasadas 3 compras a partir de hoy?
3. Después de largo tiempo como estará distribuido el mercado de los periódicos.
4. Suponga que las ventas anuales entre los dos periódicos en Guatemala ascienden a 5 millones de quetzales anuales, con una ganancia neta de Q1.00 por cada periódico y existe una agencia de publicidad que garantiza que por 2.4 millones de Quetzales realizara un decremento del 10% al 5% de la fracción de compradores de Prensa Libre que se Cambian a Siglo 21 después de una compra. ¿Deben contratar a la empresa de publicidad los ejecutivos de Prensa Libre?.

 
15) Una computadora se inspecciona cada hora. Se encuentra que está trabajando o descompuesta. Si está trabajando la probabilidad de que siga trabajando la siguiente hora es 0.9. Si está descompuesta, se toman las medidas para repararla lo que puede lleva más de una hora. Siempre que la computadora este descompuesta, independientemente de cuánto tiempo haya pasado, la probabilidad de que siga descompuesta la siguiente hora es 0.35. Modele el sistema como una cadena de Markov y determine la matriz de transición.
 
16) Un equipo de béisbol consta de 2 estrellas, 13 novatos y 10 sustitutos. Para fines de impuestos, el propietario debe evaluar a los jugadores.  Se define el valor de cada jugador como el valor total del sueldo que gana hasta su retiro.  Al inicio de cada temporada, se clasifican los jugador en cuatro categorías:
 
Categoría 1  Estrella (una estrella gana 1 millón de dólares al año.
Categoría 2  Novato (un novato gana 400 000 dólares al año)
Categoría 3  Reserva (un reserva gana 100 000 dólares al año)
Categoría 4  Retirado (no gana salario)
 
Si un jugador es estrella, novato o reserva al principio de esta temporada, las probabilidades de que pase a ser estrella, novato, reserva o retirado al principio de la siguiente temporada son como sigue:
Próxima Temporada

Esta Temporada	Estrella	Novato	Reserva	Retirado
Estrella	0.50	0.30	0.15	0.50
Novato	0.20	0.50	0.20	0.10
Reserva	0.05	0.15	0.50	0.30
Retirado	0	0	0	1

 
Determine el valor de los jugadores del equipo.
 

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